Zufallsvariablen  Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie

Maßtheorie

Grundgesamtheit
elementares (unzerlegbares) Ereignis
Ereignis
Ereignisraum
fast sicheres Ereignis
unmögliches Ereignis (Nullmenge)
unabhängige Ereignisse
-Algebra
Meßraum
Wahrscheinlichkeitsmaß
Wahrscheinlichkeitsraum
bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitstheorie befaßt sich mit Ereignissen bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes oder bei der Beobachtung eines Zufallsvorgangs. Die verschiedene Ereignisse und auch deren Kombinationen eines Zufallsvorganges werden spezifiziert. Für die elementaren Ereignisse sind feste Eintrittswahrscheinlichkeiten vorgegeben, für die Kombinationen können Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.
Eine Grundgesamtheit  ist die Menge aller (prinzipiell) denkbaren elementaren (unzerlegbaren) Ereignisse  . Ein Ereignis A ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit  .
Um die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse berechnen (messen) zu können, ist die Grundgesamtheit als solche häufig nicht strukturiert genug, es gibt zu viele nicht interessierende Ereigniskombinationen. Deshalb werden die interessierenden Ereignisse A in einer speziellen Menge, der  -Algebra zusammengefaßt. Die strukturierte Grundgesamtkeit heißt dann Meßraum und ist ein Tupel  , wobei  eine Grundgesamtheit und  eine  -Algebra auf  ist.
Eine Menge von Teilmengen einer Grundgesamtheit  heißt Ereignisraum  , falls

(i)

,

(ii)

und

(iii)

gilt. Ein Ereignisraum heißt  -Algebra, falls für alle Folgen  gilt:

Ein nichtleeres System von Teilmengen von  ist also genau dann eine  -Algebra, wenn es abgeschlossen gegenüber der Komplementbildung und der Bildung abzählbarer Vereinigungen ist.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf einem Meßraum  ist eine Abbildung  mit folgenden Eigenschaften:

(i)

,

(ii)

und

(iii)

Für alle Folgen  mit  für  gilt:

Das Tripel  heißt Wahrscheinlichkeitsraum.
Der Wahrscheinlichkeitsraum besitzt jetzt die gewünschte Struktur, um jedem interessierenden Ereignis genau eine Wahrscheinlichkeit zuordnen zu können.

In einem Wahrscheinlichkeitsraum  heißt eine Menge  fast sicheres Ereignis bzgl. P, falls P(A)=1. Eine Menge  heißt unmögliches Ereignis (Nullmenge), falls P(A)=0 (Vorsicht: eine Nullmenge ist nicht notwendig die leere Menge, und ein fast sicheres Ereignis muß nicht unbedingt die Grundgesamtheit sein).

Die Beeinflussung der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses  durch ein bereits vorher eingetretenes Ereignis  wird durch die bedingte Wahrscheinlichkeit ausgedrückt:
Sei  ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien A,B zwei Ereignisse in  . Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B definiert durch

falls P(B)>0.
Da B ein bereits eingetretenes Ereignis ist, können Ereignisse außerhalb B nicht mehr eintreten. Vom Ereignis A kann nur noch eintreten, was auch zu B gehört.
Sei B ein beliebiges aber festes Ereignis aus  mit P(B)>0. Dann ist  ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  .

Wenn das Eintreten eines Ereignisses  die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses  nicht beeinflußt (P(A|B)=P(A)), dann tritt A unabhängig von B ein. Formal bedeutet dies:
Sei  ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien  ,  . Dann heißen die  unabhängige Ereignisse, wenn sämtliche (!) der folgenden Bedingungen gelten:

  
 Zufallsvariablen Up: Wahrscheinlichkeitstheorie
 
Fri Feb 20 16:16:46 MET 1998