Charakterisierung von Verteilungen  Wahrscheinlichkeitstheorie Maßtheorie

Zufallsvariablen

Zufallsvariable
Meßbarkeitseigenschaft
Verteilung
(kumulative) Verteilungsfunktion
diskrete (diskret verteilte) Zufallsvariable
diskrete Dichtefunktion
Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
stetige (stetig verteilte) Zufallsvariable
stetige Dichtefunktion

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung, die die Struktur des Meßraums (bzw. Wahrscheinlichkeitsraums) in die reellen Zahlen transformiert. Damit lassen sich die häufig sehr abstrakten Mengen  aus der Grundgesamtheit  durch konkrete reelle Zahlen oder Teilmengen der reellen Zahlen charakterisieren. Mit der formalen Definition wird die Intervall-Struktur auf den reellen Zahlen genutzt, um eine dazu passende -Algebra auf  einzurichten:
Sei  einWahrscheinlichkeitsraum. Jede Funktion  heißt Zufallsvariable, wenn sie die Meßbarkeitseigenschaft besitzt, daß nämlich jedes Ereignis  für jedes  in der -Algebra  liegt. Die Struktur des Bildraumes der Zufallsvariable X wird somit auf den Urbildraum übertragen.

Sei  Zufallsvariable.Dann ist

die Verteilung von X. Das heißt, die Verteilung  von X wird von P und X induziert (erzeugt) und ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen.
Durch das Konzept der Zufallsvariablen X mit der zugehörigenVerteilung  wird auf  ein Wahrscheinlichkeitsraum erzeugt, der wegen der Eigenschaften der Zufallsvariablen X den Raum  mit seinen Strukturen widerspiegelt.

Eine Funktion  mit

heißt (kumulative) Verteilungsfunktion  der Zufallsvariablen X.

Jede Funktion  mit den Eigenschaften

(i)

und ,

(ii)

ist monoton nichtfallend:  füra<b,

(iii)

F ist rechtsstetig: 

definiert eine (kumulative) Verteilungsfunktion.

Eine Zufallsvariable X heißt diskret (diskret verteilt), wenn sie nur (höchstens) abzählbar viele Werte  aus  mit Wahrscheinlichkeit größer Null annimmt. Die Funktion

heißt diskrete Dichtefunktion der diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten  .
Für die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen gilt:

Jede Funktion  definiert eine diskrete Dichtefunktion, wenn für eine höchstens abzählbare Menge ,  gilt:

(i)

,

(ii)

f(x)=0 für und

(iii)

.

Eine Zufallsvariable X heißt stetig (stetig verteilt), wenn

für eine sogenannte Dichtefunktion  gilt. Eine stetige Zufallsvariable nimmt feste Werte  nur mit Wahrscheinlichkeit Null an, denn es gilt:

Wahrscheinlichkeitsaussagen größer Null können sich deshalb immer nur auf ein Intervall in  beziehen.

Jede Funktion  definiert eine (stetige) Dichtefunktion, wenn gilt:

(i)

(ii)

.

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Fri Feb 20 16:16:46 MET 1998